Page 68 - Spin Transport and Spintronics

2.5 แบบจำลองทั่วไปของการสะสมสปิน 69

จากนั้นนำผลของการคลอสข้างต้นแทนค่าลงในสมการที่ (2.21) จะได้ว่า

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
∂ (m 2b 2 + m 3b 3 ) (−m 2b 3 + m 3b 2 ) (m 2b 2 + m 3b 3 ) (m 2b 2 + m 3b 3 )
− − − = 0
∂x 2 λ 2 λ 2 λ 2
J ϕ sf
" # " #
2 2
∂ m 2 m 2 m 3 m 2 ˆ ∂ m 3 m 3 m 2 m 3 ˆ
− − − b 2 + − + − b 3 = 0
∂x 2 λ 2 λ 2 λ 2 ∂x 2 λ 2 λ 2 λ 2
sf J ϕ sf J ϕ
ˆ ˆ
เนื่องจากแกนหนึ่งหน่วย b 2 และ b 3 ตั้งฉากซึ่งกันและกัน ดังนั้นผลขององค์ประกอบตั้งฉาก m ⊥
สามารถแสดงในรูปแบบของปริมาณเชิงซ้อนได้ดังต่อไปนี้
" # " #
2 2
∂ m 2 m 2 m 3 m 2 ∂ m 3 m 3 m 2 m 3 (2.22)
− − − + − + − i = 0
∂x 2 λ 2 λ 2 λ 2 ∂x 2 λ 2 λ 2 λ 2
sf J ϕ sf J ϕ
จากสมการที่ (2.22) ขนาดขององค์ประกอบตั้งฉากของการสะสมสปิน m 2 และ m 3 จะมีทิศทางไปตาม
ทิศทางของแกนหนึ่งหน่วย b 2 และ b 3 ตามลำดับ สามารถพิจารณาได้จากการรวมพจน์และแก้สมการ
ˆ
ˆ
อนุพันธ์อันดับสองดังนี้
!
2
∂ m 2 1 1 i
− m 2 ( 2 + 2 ) − 2 = 0
∂x 2 λ λ λ
ϕ sf J
" !#
2
∂ m 3 1 1 i (2.23)
i − m 3 ( + ) − = 0
∂x 2 λ 2 λ 2 λ 2
ϕ sf J
−2
จากสมการข้างต้นพบว่าค่าระยะ λ ϕ และλ sf สามารถรวมพจน์ได้เป็น λ −2 = λ −2 + λ ซึ่งระยะ
trans
sf
ϕ
λ trans มีความสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบหน่วงของการสะสมสปิน จากนั้นทำการแก้สมการข้างต้น
เพื่อหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ขององค์ประกอบตั้งฉากของการสะสมสปินได้ดังนี้
m ⊥,2 (x) = [G 2 e −x/l + + G 3 e −x/l − ˆ
] b 2
m ⊥,3 (x) = [−iG 2 e −x/l + + iG 3 e −x/l − ˆ (2.24)
] b 3
เมื่อ

m ⊥,2 (0) + im ⊥,3 (0)
G 2 = = u + iv
2
m ⊥,2 (0) − im ⊥,3 (0)
G 3 = = u − iv
2
q
2
1/l + = (1/λ 2 trans ) − (i/λ ) = k 1 − ik 2
J
q
2
1/l − = (1/λ 2 ) + (i/λ ) = k 1 + ik 2
trans J
จากสมการที่ (2.24) พบว่าองค์ประกอบตั้งฉากของการสะสมสปินสามารถแสดงความสัมพันธ์

ในรูปของปริมาณเชิงซ้อน และสามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์ได้โดยการแทนค่าสัมประ-

สิทธิ์ G 2 , G 3 , 1/l + และ 1/l − ลงในสมการข้างต้น ดังนั้นจะได้คำตอบขององค์ประกอบตั้งฉากในรูป